Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất | Học toán online chất lượng cao 2023 | Vted

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $ \ left \ { \ begin { gathered } { a_ { 11 } } { x_1 } + { a_ { 12 } } { x_2 } + … + { a_ { 1 n } } { x_1 } = 0 \ hfill \ \ { a_ { 12 } } { x_1 } + { a_ { 22 } } { x_2 } + … + { a_ { 2 n } } { x_n } = 0 \ hfill \ \ … \ hfill \ \ { a_ { m1 } } { x_1 } + { a_ { mét vuông } } { x_2 } + … + { a_ { mn } } { x_n } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Với $ A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 1 n } } } \ \ { { a_ { 21 } } } và { { a_ { 22 } } } và { … } và { { a_ { 2 n } } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { { a_ { m1 } } } và { { a_ { mét vuông } } } và { … } và { { a_ { mn } } } \ end { array } } \ right ), X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { x_1 } } \ \ { { x_2 } } \ \ { … } \ \ { { x_n } } \ end { array } } \ right ), O = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 0 \ \ 0 \ \ { … } \ \ 0 \ end { array } } \ right ). $
Hệ phương trình đã cho hoàn toàn có thể được viết dưới dạng ma trận $ AX = O. $

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+…+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$

Hạng của ma trận thông số và hạng của ma trận thông số lan rộng ra của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm $ { { x } _ { 1 } } = { { x } _ { 2 } } = … = { { x } _ { n } } = 0, $ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất .

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ví dụ 1: Tìm $a$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0\\ ax + (a – 1)y + 4z = 0\\ (a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0 \end{array} \right.$ có nghiệm không tầm thường.

Giải. Ta có yêu cầu bài toán tương đương với $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 5}&3&{2a + 1}\\ a&{a – 1}&4\\ {a + 5}&{a + 2}&5 \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow – 3{a^2} – 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0;a = – 1.$

Ví dụ 2: Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} – m{x_2} + {x_3} – (m + 3){x_4} = 0\\ 2{x_1} + {x_2} – 4{x_3} + 7{x_4} = 0\\ m{x_1} + 4{x_2} + 2{x_3} – m{x_4} = 0\\ {x_1} – {x_2} – m{x_3} – 2({m^2} + 1){x_4} = 0 \end{array} \right.$ có nghiệm không tầm thường.

Giải. Ta có yêu cầu bài toán tương đương với \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – m}&1&{ – m – 3}\\ 2&1&{ – 4}&7\\ m&4&2&{ – m}\\ 1&{ – 1}&{ – m}&{ – 2({m^2} + 1)} \end{array}} \right| = 0.\]

Ta có biến hóa định thức :
\ [ \ begin { gathered } \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – m } và 1 và { – m – 3 } \ \ 2 và 1 và { – 4 } và 7 \ \ m và 4 và 2 và { – m } \ \ 1 và { – 1 } và { – m } và { – 2 ( { m ^ 2 } + 1 ) } \ end { array } } \ right | = \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – m } và 1 và { – m – 3 } \ \ 0 và { 2 m + 1 } và { – 6 } và { 2 m + 13 } \ \ 0 và { { m ^ 2 } + 4 } và { – m + 2 } và { { m ^ 2 } + 2 m } \ \ 0 và { m – 1 } và { – m – 1 } và { – 2 { m ^ 2 } + m + 1 } \ end { array } } \ right | \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } } \ \ { { \ mathbf { – m } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } \ \ { { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ = \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { 2 m + 1 } và { – 6 } và { 2 m + 13 } \ \ { { m ^ 2 } – 4 } và { – m + 2 } và { { m ^ 2 } + 2 m } \ \ { m – 1 } và { – m – 1 } và { – 2 { m ^ 2 } + m + 1 } \ end { array } } \ right | = – 8 { m ^ 4 } – 14 { m ^ 3 } – 58 { m ^ 2 } – 52 m. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]
Vậy \ [ – 8 { { m } ^ { 4 } } – 14 { { m } ^ { 3 } } – 58 { { m } ^ { 2 } } – 52 m = 0 \ Leftrightarrow m = 0 ; m = – 1. \ ]

Ví dụ 3: Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

USD \ left \ { \ begin { array } { l } 2 { x_1 } + 3 { x_2 } – 2 { x_3 } = ( m + 1 ) { x_1 } – ( 4 – m ) { x_2 } + ( m + 3 ) { x_3 } \ \ { x_1 } + { x_2 } + 2 { x_3 } = ( m + 3 ) { x_1 } + ( m – 1 ) { x_2 } + ( m + 2 ) { x_3 } \ \ – { x_1 } + 2 { x_2 } – { x_3 } = ( m + 2 ) { x_1 } – ( 2 – m ) { x_2 } + m { x_3 } \ end { array } \ right .. $

Giải. Hệ tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l} (m – 1){x_1} + (m – 7){x_2} + (m + 5){x_3} = 0\\ (m + 2){x_1} + (m – 2){x_2} + m{x_3} = 0\\ (m + 3){x_1} + (m – 4){x_2} + (m + 1){x_3} = 0 \end{array} \right..$

Vậy USD ycbt \ Leftrightarrow \ left | { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { m – 1 } và { m – 7 } và { m + 5 } \ \ { m + 2 } và { m – 2 } và m \ \ { m + 3 } và { m – 4 } và { m + 1 } \ end { array } } \ right | \ ne 0 \ Leftrightarrow 6 – 24 m \ ne 0 \ Leftrightarrow m \ ne \ dfrac { 1 } { 4 }. $

Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $ \ ker ( A ) = \ left \ { { X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { x_1 } } \ \ { { x_2 } } \ \ { … } \ \ { { x_n } } \ end { array } } \ right ) \ in { \ mathbb { R } ^ n } | AX = O } \ right \ } $ là một khoảng trống con của khoảng trống véctơ $ { { \ mathbb { R } } ^ { n } } $ và được gọi là tập hợp toàn bộ những nghiệm của hệ thuần nhất $ AX = O $ hay khoảng trống nghiệm của hệ thuần nhất .
Mỗi cơ sở của $ \ ker ( A ) USD được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất .
Số chiều của khoảng trống nghiệm của hệ thuần nhất $ \ dim \ left ( \ ker ( A ) \ right ) = n-r ( A ). $

Vậy $r(A)=r

Ví dụ 1: Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + m{x_3} + (m + 1){x_4} = 0\\ 2{x_1} + (m + 2){x_2} + (2m + 1){x_3} + (2m + 4){x_4} = 0\\ {x_1} + (4 – m){x_2} + (m – 1){x_3} + (2m – 4){x_4} = 0 \end{array} \right.$ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số.

Giải. Xét ma trận hệ số $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&{m + 1}\\ 2&{m + 2}&{2m + 1}&{2m + 4}\\ 1&{4 – m}&{m – 1}&{2m – 4} \end{array}} \right).$

Hệ phương trình có vô số nghiệm nhờ vào hai tham số USD \ Leftrightarrow 4 – r ( A ) = 2 \ Leftrightarrow r ( A ) = 2. $
Biến đổi ma trận thông số :
USD \ begin { gathered } A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và m và { m + 1 } \ \ 2 và { m + 2 } và { 2 m + 1 } và { 2 m + 4 } \ \ 1 và { 4 – m } và { m – 1 } và { 2 m – 4 } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và m và { m + 1 } \ \ 0 và { m – 2 } và 1 và 2 \ \ 0 và { 2 – m } và { – 1 } và { m – 5 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { { { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 2 và m và { m + 1 } \ \ 0 và { m – 2 } và 1 và 2 \ \ 0 và 0 và 0 và { m – 3 } \ end { array } } \ right ) \ Rightarrow r ( A ) = 2 \ Leftrightarrow m – 3 = 0 \ Leftrightarrow m = 3. \ hfill \ \ \ end { gathered } $

Ví dụ 2: Tìm một hệ nghiệm cơ bản và số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất

USD \ left \ { \ begin { array } { l } 2 { x_1 } – { x_2 } + 5 { x_3 } + 7 { x_4 } = 0 \ \ 4 { x_1 } – 2 { x_2 } + 7 { x_3 } + 5 { x_4 } = 0 \ \ 2 { x_1 } – { x_2 } + { x_3 } – 5 { x_4 } = 0 \ end { array } \ right .. $

Giải. Ta có $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 1}&5&7 \\ 4&{ – 2}&7&5 \\ 2&{ – 1}&1&{ – 5} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ – 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ – }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 1}&5&7 \\ 0&0&{ – 3}&{ – 9} \\ 0&0&{ – 4}&{ – 12} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{ – }}\frac{{\mathbf{4}}}{{\mathbf{3}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 1}&5&7 \\ 0&0&{ – 3}&{ – 9} \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right).$

Vậy hệ phương trình đã cho tương tự với : $ \ left \ { \ begin { gathered } 2 { x_1 } – { x_2 } + 5 { x_3 } + 7 { x_4 } = 0 \ hfill \ \ – 3 { x_3 } – 9 { x_4 } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_2 } = 2 { x_1 } – 8 { x_4 } \ hfill \ \ { x_3 } = – 3 { x_4 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Nghiệm tổng quát của hệ là USD ( { { x } _ { 1 } }, 2 { { x } _ { 1 } } – 8 { { x } _ { 4 } }, – 3 { { x } _ { 4 } }, { { x } _ { 4 } } ) = ( { { x } _ { 1 } }, 2 { { x } _ { 1 } }, 0,0 ) + ( 0, – 8 { { x } _ { 4 } }, – 3 { { x } _ { 4 } }, { { x } _ { 4 } } ) = { { x } _ { 1 } } ( 1,2,0,0 ) + { { x } _ { 4 } } ( 0, – 8, – 3,1 ). $
Vậy $ \ left \ { { { P } _ { 1 } }, { { P } _ { 2 } } \ right \ }, { { P } _ { 1 } } = ( 1,2,0,0 ), { { P } _ { 2 } } = ( 0, – 8, – 3,1 ) USD là một hệ nghiệm cơ bản của hệ đã cho và số chiều của khoảng trống nghiệm của hệ là USD 2. $

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} – {x_1} + 3{x_2} + 4{x_3} + 3{x_4} = 0 \hfill \\ 2{x_1} – 5{x_2} + 2{x_4} = 0 \hfill \\ {x_1} – 2{x_2} + 4{x_3} + 5{x_4} = 0 \hfill \\ 2{x_1} – 4{x_2} + 8{x_3} + (m – 4){x_4} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

a ) Tìm một hệ nghiệm cơ bản và xác lập số chiều của khoảng trống nghiệm của hệ phương trình đã cho khi USD m = 2. $
b ) Tìm USD m USD để khoảng trống nghiệm của hệ phương trình đã cho có số chiều bằng 1 .

Giải. Biến đổi ma trận hệ số:

USD A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 4 và 3 \ \ 2 và { – 5 } và 0 và 2 \ \ 1 và { – 2 } và 4 và 5 \ \ 2 và { – 4 } và 8 và { m – 5 } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ \ { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 4 và 3 \ \ 0 và 1 và 8 và 8 \ \ 0 và 1 và 8 và 8 \ \ 0 và 2 và { 16 } và { m + 1 } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 4 và 3 \ \ 0 và 1 và 8 và 8 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 \ \ 0 và 0 và 0 và { m – 15 } \ end { array } } \ right ). $
Không gian nghiệm của hệ có số chiều $ 4 – r ( A ) = 1 \ Leftrightarrow r ( A ) = 3 \ Leftrightarrow m-15 \ ne 0 \ Leftrightarrow m \ ne 15. $
Khi USD m = 2 USD hệ phương trình tương tự với $ \ left \ { \ begin { gathered } – { x_1 } + 3 { x_2 } + 4 { x_3 } + 3 { x_4 } = 0 \ hfill \ \ { x_2 } + 8 { x_3 } + 8 { x_4 } = 0 \ hfill \ \ – 13 { x_4 } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_1 } = – 20 { x_3 } \ hfill \ \ { x_2 } = – 8 { x_3 } \ hfill \ \ { x_4 } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
Nghiệm tổng quát của hệ là $ \ left ( – 20 { { x } _ { 3 } } ; – 8 { { x } _ { 3 } } ; { { x } _ { 3 } } ; 0 \ right ) = { { x } _ { 3 } } \ left ( – 20 ; – 8 ; 1 ; 0 \ right ). $ Do đó USD { { P } _ { 1 } } = \ left ( – 20 ; – 8 ; 1 ; 0 \ right ) USD là một hệ nghiệm của cơ bản của hệ và khoảng trống nghiệm của hệ có số chiều bằng 1 .

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:

USD \ left \ { \ begin { gathered } – { x_1 } + 3 { x_2 } + { x_3 } – 2 { x_4 } = 1 \ hfill \ \ 2 { x_1 } + 2 { x_2 } – 5 { x_3 } + { x_4 } = 3 \ hfill \ \ – 5 { x_1 } – { x_2 } + 11 { x_3 } – 4 { x_4 } = – 5 \ hfill \ \ 3 { x_1 } + 7 { x_2 } – 9 { x_3 } = 7 \ hfill \ \ { x_1 } + 13 { x_2 } – 7 { x_3 } – 4 { x_4 } = 9 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. { \ text { } } ( * ). $

a) Giải hệ phương trình (*)

b ) Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất link với hệ ( * )

Giải. Xét ma trận hệ số mở rộng:

USD \ begin { gathered } \ overline A = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 2 và 2 và { – 5 } và 1 và 3 \ \ { – 5 } và { – 1 } và { 11 } và { – 4 } và { – 5 } \ \ 3 và 7 và { – 9 } và 0 và 7 \ \ 1 và { 13 } và { – 7 } và { – 4 } và 9 \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { \ begin { gathered } { \ mathbf { 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } \ hfill \ \ { \ mathbf { – 5 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ hfill \ \ { \ mathbf { 3 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ hfill \ \ { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 1 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 5 } } } \ hfill \ \ \ end { gathered } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 0 và 8 và { – 3 } và { – 3 } và 5 \ \ 0 và { – 16 } và 6 và 6 và { – 10 } \ \ 0 và { 16 } và { – 6 } và { – 6 } và { 10 } \ \ 0 và { 16 } và { – 6 } và { – 6 } và { 10 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ xrightarrow { \ begin { subarray } { l } { \ mathbf { 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 3 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 4 } } } \ \ { \ mathbf { – 2 } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 5 } } } \ end { subarray } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 3 và 1 và { – 2 } và 1 \ \ 0 và 8 và { – 3 } và { – 3 } và 5 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 \ \ 0 và 0 và 0 và 0 và 0 \ end { array } } \ right ). \ hfill \ \ \ end { gathered } $
+ ) Vậy hệ phương trình tuyến tính tương tự với : $ \ left \ { \ begin { gathered } – { x_1 } + 3 { x_2 } + { x_3 } – 2 { x_4 } = 1, \ hfill \ \ 8 { x_2 } – 3 { x_3 } – 3 { x_4 } = 5 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_1 } = \ dfrac { { 17 } } { 8 } { x_3 } – \ dfrac { 7 } { 8 } { x_4 } + \ dfrac { 7 } { 8 } \ hfill \ \ { x_2 } = \ dfrac { 3 } { 8 } { x_3 } + \ dfrac { 3 } { 8 } { x_4 } + \ dfrac { 5 } { 8 } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. $
+ ) Nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất link với hệ đã cho là
$ \ left ( { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } }, { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } } \ right ) = \ left ( \ dfrac { 17 } { 8 } { { x } _ { 3 } } – \ dfrac { 7 } { 8 } { { x } _ { 4 } }, \ dfrac { 3 } { 8 } { { x } _ { 3 } } + \ dfrac { 3 } { 8 } { { x } _ { 4 } }, { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } } \ right ) = { { x } _ { 3 } } \ left ( \ dfrac { 17 } { 8 }, \ dfrac { 3 } { 8 }, 1,0 \ right ) + { { x } _ { 4 } } \ left ( – \ dfrac { 7 } { 8 }, \ dfrac { 3 } { 8 }, 0,1 \ right ). $
Hệ nghiệm cơ bản là $ \ left \ { \ left ( \ dfrac { 17 } { 8 }, \ dfrac { 3 } { 8 }, 1,0 \ right ), \ left ( – \ dfrac { 7 } { 8 }, \ dfrac { 3 } { 8 }, 0,1 \ right ) \ right \ }. $

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + … + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + … + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ … \hfill \\ {a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} + … + {a_{nn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ trong đó $n\ge 4$ và ${{a}_{ij}}=ij+i+j,\forall i,j=1,2,…,n.$

Giải. Xét ma trận hệ số của hệ phương trình $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{…}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{…}&{{a_{2n}}} \\ {…}&{…}&{…}&{…} \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{…}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right).$

Ta có $ { { a } _ { ij } } – { { a } _ { i-1, j } } = ij + i + j – \ left ( \ left ( i-1 \ right ) j + \ left ( i-1 \ right ) + j \ right ) = j + 1, \ forall i = 2,3, …, n ; j = 1,2, …, n. $
Lấy USD – { { d } _ { i-1 } } + { { d } _ { i } }, i = 2,3, …, n $ ta được
USD A \ to B = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 1 n } } } \ \ { { b_ { 21 } } } và { { b_ { 22 } } } và { … } và { { b_ { 2 n } } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { { b_ { n1 } } } và { { b_ { n2 } } } và { … } và { { b_ { nn } } } \ end { array } } \ right ) \ xrightarrow { { { \ mathbf { – } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { 2 } } } { \ mathbf { + } } { { \ mathbf { d } } _ { \ mathbf { i } } } { \ mathbf {, i = 3, …, n } } } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 1 n } } } \ \ { { b_ { 21 } } } và { { b_ { 22 } } } và { … } và { { b_ { 2 n } } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ 0 và 0 và { … } và 0 \ end { array } } \ right ) USD trong đó $ { { b } _ { ij } } = j + 1, \ forall i = 2,3, …, n ; j = 1,2, …, n. $
Ta có $ { { a } _ { 1 j } } = j + 1 + j = 2 j + 1 ; { { b } _ { 2 j } } = j + 1, \ forall j = 1,2, …, n USD nên hệ tương tự với
USD \ left \ { \ begin { gathered } 3 { x_1 } + 5 { x_2 } + … + \ left ( { 2 n + 1 } \ right ) { x_n } = 0 \ left ( 1 \ right ) \ hfill \ \ 2 { x_1 } + 3 { x_2 } + … + \ left ( { n + 1 } \ right ) { x_n } = 0 \ left ( 2 \ right ) \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
USD \ overset { 2 \ times \ left ( 1 \ right ) – 3 \ times \ left ( 2 \ right ) } \ longleftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_2 } + 2 { x_3 } + 3 { x_4 } + … + \ left ( { n – 1 } \ right ) { x_n } = 0 \ hfill \ \ 2 { x_1 } + 3 { x_2 } + … + \ left ( { n + 1 } \ right ) { x_n } = 0 \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } { x_2 } = – 2 { x_3 } – 3 { x_4 } – … – \ left ( { n – 1 } \ right ) { x_n } \ hfill \ \ { x_1 } = { x_3 } + 2 { x_4 } + … + \ left ( { n – 2 } \ right ) { x_n } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. $
Vậy nghiệm tổng quát của hệ là $ \ left ( { { x } _ { 3 } } + 2 { { x } _ { 4 } } + … + \ left ( n-2 \ right ) { { x } _ { n } }, – 2 { { x } _ { 3 } } – 3 { { x } _ { 4 } } – … – \ left ( n-1 \ right ) { { x } _ { n } }, { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } }, …, { { x } _ { n } } \ right ), { { x } _ { 3 } }, { { x } _ { 4 } }, …, { { x } _ { n } } \ in \ mathbb { R } $

Mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát $ AX = B $ có USD n USD ẩn số. Khi đó hệ phương trình $ AX = O $ được gọi là hệ thuần nhất link với hệ phương trình tổng quát đã cho .
+ ) Gọi USD { { X } _ { 0 } } $ là một nghiệm riêng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát ;
+ ) Gọi $ \ left \ { { { P } _ { 1 } }, { { P } _ { 2 } }, …, { { P } _ { n-r ( A ) } } \ right \ } $ là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất link ;
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính tổng quát là USD X = { { X } _ { 0 } } + { { t } _ { 1 } } { { P } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } { { P } _ { 2 } } + … + { { t } _ { n-r ( A ) } } { { P } _ { n-r ( A ) } }. $

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình tuyến tính 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng:

a ) Bộ số USD ( 1992,1993, …, 2002 ) USD là một nghiệm của hệ phương trình ;
b ) Khi xóa đi cột thứ j trong ma trận thông số của hệ thì được một ma trận vuông có định thức đúng bằng j ( j = 1, 2, …, 11 ) .
Hãy triển khai những nhu yếu dưới đây :
i ) Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất link với hệ đã cho có bao nhiêu véctơ ?
ii ) Hãy tìm một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất link với hệ đã cho
iii ) Hãy tìm toàn bộ những nghiệm của hệ phương trình đã cho .

Giải. Xét ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{10\times 11}}.$ Hệ phương trình đã cho là $AX=B.$

Ta có $ r ( A ) \ leqslant \ min \ left \ { { 10,11 } \ right \ } = 10 $ và theo giả thiết b ) thì $ D_ { 12 … 10 } ^ { 12 … 10 } = 11 \ ne 0 \ Rightarrow r ( A ) = 10. $ Do đó hệ phương trình thuần nhất $ AX = O $ có hệ nghiệm cơ bản chỉ gồm một véctơ $ { { P } _ { 1 } } = ( { { a } _ { 1 } }, { { a } _ { 2 } }, …, { { a } _ { 11 } } ). $ Mặt khác theo giả thiết a ) bộ số USD ( 1992,1993, …, 2002 ) USD là một nghiệm riêng của hệ phương trình $ AX = B. $ Do đó mọi nghiệm của hệ phương trình $ AX = B $ có dạng USD ( { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } }, …, { { x } _ { 11 } } ) = ( 1992,1993, …, 2002 ) + ( { { a } _ { 1 } }, { { a } _ { 2 } }, …, { { a } _ { 11 } } ) t, t \ in \ mathbb { R }. $
Gọi $ C $ là ma trận nhận được từ ma trận $ A $ bằng cách thêm dòng thứ USD i USD của ma trận $ A $ vào ngay phía trên dòng tiên phong của ma trận $ A. $
Ta có USD C = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { { a_ { i1 } } } và { { a_ { i2 } } } và { … } và { { a_ { i11 } } } \ \ { { a_ { 11 } } } và { { a_ { 12 } } } và { … } và { { a_ { 111 } } } \ \ { { a_ { 21 } } } và { { a_ { 22 } } } và { … } và { { a_ { 211 } } } \ \ { … } và { … } và { … } và { … } \ \ { { a_ { 101 } } } và { { a_ { 102 } } } và { … } và { { a_ { 1011 } } } \ end { array } } \ right ). $
Khai triển định thức ma trận $ C $ theo dòng tiên phong và khai thác giả thiết b ) ta có :
$ \ det ( C ) = 1. { { a } _ { i1 } } – 2. { { a } _ { i2 } } + 3. { { a } _ { i3 } } + … – 10. { { a } _ { i10 } } + 11. { { a } _ { i11 } }. $
Mặt khác $ C $ có hai dòng giống nhau nên $ \ det ( C ) = 0 \ Leftrightarrow 1. { { a } _ { i1 } } – 2. { { a } _ { i2 } } + 3. { { a } _ { i3 } } + … – 10. { { a } _ { i10 } } + 11 { { a } _ { i11 } } = 0. $
Điều đó chứng tỏ USD ( 1, – 2,3, …, – 10,11 ) USD là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất $ AX = O. $
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là USD ( { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } }, …, { { x } _ { 11 } } ) = ( 1992,1993, …, 2002 ) + ( 1, – 2, …, 11 ) t = ( 19992 + t, 1993 – 2 t, …, 2002 + 11 t ), t \ in \ mathbb { R }. $
* Chú ý ta sử dụng kỹ năng và kiến thức sau :
Xét hai hệ phương trình $ AX = B ( 1 ) ; AX = O ( 2 ) USD có $ A = { { ( { { a } _ { ij } } ) } _ { m \ times n } }, r ( A ) = r. $
+ ) USD { { X } _ { 0 } } $ là một nghiệm riêng của ( 1 ) ;
+ ) $ \ left \ { { { P } _ { 1 } }, { { P } _ { 2 } }, …, { { P } _ { n-r } } \ right \ } $ là một hệ nghiệm cơ bản của ( 2 ) ;
Khi đó nghiệm của ( 1 ) là USD X = { { X } _ { 0 } } + { { t } _ { 1 } } { { P } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } { { P } _ { 2 } } + … + { { t } _ { n-r } } { { P } _ { n-r } }. $

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tại đây

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Source: https://thaiphuongthuy.com
Category : Blog

Related Posts

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.